まずやること。
　退職したらすぐ自分と配偶者の年金手帳、雇用保険の離職票、印章、自分と配偶者の前年の源泉徴収票、自分の今年（退職年）の源泉徴収票を持って、まずはお住まいの市区役所役場の国民年金課に行きましょう。
そして、会社を辞めたので国民年金への変更手続きがしたい、そして免除の申請がしたいと告げましょう。

　国民年金は、毎年7月から6月を年度と考えます。手続きをするのが6月までならばその前年の所得とは前々年の暦年の所得になります。
　例えば、令和元（2019）年5月に手続きをするときは令和元年6月分までの申請しかできず、そのときに考慮される所得は平成29（2017）年の所得になり、令和元（2019）年7月に手続きするときは令和2（2020）年6月までの申請となり、考慮される所得は平成30（2018）年の所得になります。

　本来は、上記の通り前年の所得によって免除等の判定が行われますが、離職票があれば、『収入が無くなった人』として扱われる（特例免除になる）ので全額免除になる可能性が高いです。（国民年金法90条1項5号、国民年金法施行規則77条の7　1項2号）

　個人事業を始めていて収入があったとしても、雇われてない状態になったということが特例の要件なので嘘をついて免除してもらっていることにはなりませんし、個人事業をしていることを隠す必要もありません。聞かれませんが。
　ただし、配偶者の所得も審査されるので配偶者に122万円以上の給与収入があれば全額免除にはならないかもしれません。しかし、370万円の給与収入くらいまでなら一部免除の可能性があります。
　このへんの判定の方法と算式は複雑なので配偶者にそこそこ所得があっても、実際に窓口に行って確認した方がいいです。

　この際、扶養されていた配偶者も3号から1号に変更になるので、配偶者の分も手続きをしましょう。その配偶者の手続きをする際に自署ではないので印鑑が必要になります。
　配偶者と一緒に行くなら印章は持って行かず、配偶者本人に書いてもらえばいいです。
　日本年金機構のWebサイトから申請書をダウンロードして配偶者に記入してもらって持って行ってもいいのですが、訂正等があった場合に配偶者本人がいないと面倒になるかもしれないので、印章を持って行くか配偶者と一緒に行くことをお勧めします。

　国民年金の失業による特例免除が可能なのは退職日の翌日から2年後の6月までの期間までです。

　こんな手続きせずにただ払わなければいいのでは、と思うかもしれませんが、手続きをして免除されるのと勝手に払わないのとでは、法的に全く意味が異なります。勝手に払わないのは法令違反であり滞納ですので強制的に差し押さえられることもありますし、年金の受給の際も未払期間は計算から除外されるので年金自体を貰うことができなかったり、貰えたとしても減額されます。

　さて、国民年金の手続きが終わったら、おそらく国民年金課のすぐ近くに国民健康保険課があるので、そこに行きましょう。
　そして、任意継続とどちらが有利か教えてほしいと頼みましょう。
　任意継続とは、これまでの会社の健康保険に継続して加入するということです。ただし、これまで会社が負担してくれていた半額分も自分で負担することになります。それでも扶養家族が多いなど、場合によると国民健康保険に変更するよりも安くなります。

　ただ、この任意継続には決まりがあります。
　退職日の翌日から20日以内に申請が必要です。
　そして任意継続が認められても1回でも1日でも納付が遅れると取り消され国民健康保険に加入となります。
　逆に考えると、とりあえず任意継続の手続きを期限内にしておいて、もし任意継続をしない方が有利だと思えば延滞することで任意継続を打ち切りにされ国民健康保険に移行する、という方法も考えられます。（国民健康保険に任意に変更するという手続きがないので、任意継続をしている個人事業主が国民健康保険に切り替えるにはこの方法しかありません。なんか一般的には悪いイメージの滞納をしないといけないというのは気持ちが悪いですね。）

　配偶者も健康保険の扶養に入れる場合は、配偶者の所得が少ないことを証明する必要があります。
　証明の方法は、配偶者の前年の源泉徴収票を提示するか市区役所役場で課税証明を取るか。
　前年は130万円を超えていたが前々年は130万円未満だったという場合、もし手続きするのが5月までならば課税証明を取りに行きましょう。5月31日までは前々年の課税証明になります。

　お子さんがいる方は、国民年金の免除が決定したら、義務教育の給食費の補助や入学準備金等の付与、高校の授業料の一部免除等が受けられます。
　おそらく入学時と年度の切り替わる6月に学校から書類を貰っているはずですし、学校か教育委員会に問い合わせをすると手続きについて教えてくれます。